Come risolvere le equazioni con le radici
Video: Equazioni Irrazionali : Spiegazione e Primi Esempi 2024, Luglio
A volte nelle equazioni c'è un segno della radice. A molti studenti sembra che sia molto difficile risolvere tali equazioni "con radici" o, più correttamente, equazioni irrazionali, ma non è così.
Manuale di istruzioni
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A differenza di altri tipi di equazioni, ad esempio sistemi di equazioni quadratici o lineari, non esiste un algoritmo standard per risolvere equazioni con radici o, più precisamente, equazioni irrazionali. In ogni caso particolare, è necessario selezionare il metodo di soluzione più adatto in base all '"aspetto" e alle caratteristiche dell'equazione.
L'innalzamento di parti dell'equazione allo stesso grado.
Molto spesso, per risolvere equazioni con radici (equazioni irrazionali), viene utilizzato l'innalzamento di entrambi i lati dell'equazione allo stesso grado. Di norma, in misura pari al grado della radice (quadrato per radice quadrata, cubo per radice cubica). Va tenuto presente che quando si sollevano i lati sinistro e destro dell'equazione in modo uniforme, potrebbe avere radici "extra". Pertanto, in questo caso, si dovrebbero verificare le radici ottenute sostituendole nell'equazione. Particolare attenzione nella risoluzione di equazioni con radici quadrate (pari) dovrebbe essere data all'intervallo di valori ammissibili della variabile (ODZ). A volte, la stima dell'ODL da sola è sufficiente per risolvere o semplificare significativamente l'equazione.
Un esempio Risolvi l'equazione:
√ (5x-16) = x-2
Quadriamo entrambi i lati dell'equazione:
(√ (5x-16)) ² = (x-2) ², da cui successivamente otteniamo:
5x-16 = x²-4x + 4
h²-4x + 4-5x + 16 = 0
h²-9x + 20 = 0
Risolvendo l'equazione quadratica ottenuta, troviamo le sue radici:
x = (9 ± √ (81-4 * 1 * 20)) / (2 * 1)
x = (9 ± 1) / 2
x1 = 4, x2 = 5
Sostituendo entrambe le radici trovate nell'equazione originale, otteniamo l'eguaglianza corretta. Pertanto, entrambi i numeri sono soluzioni dell'equazione.
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Metodo per l'introduzione di una nuova variabile.
A volte è più conveniente trovare le radici di una "equazione con radici" (un'equazione irrazionale) introducendo nuove variabili. In effetti, l'essenza di questo metodo è semplicemente ridotta a un record più compatto della soluzione, ad es. invece di scrivere ogni volta un'espressione voluminosa, viene sostituita da una legenda.
Un esempio Risolvi l'equazione: 2x + √x-3 = 0
Puoi risolvere questa equazione quadrando entrambe le parti. Tuttavia, i calcoli stessi sembreranno piuttosto ingombranti. Quando si introduce una nuova variabile, il processo decisionale si rivelerà molto più elegante:
Introduciamo una nuova variabile: y = √ x
Quindi otteniamo l'equazione quadratica ordinaria:
2y² + y-3 = 0, con variabile y.
Risolvendo l'equazione risultante, troviamo due radici:
y1 = 1 e y2 = -3 / 2, sostituendo le radici trovate nell'espressione con la nuova variabile (y), otteniamo:
√ x = 1 e √ x = -3 / 2.
Poiché il valore della radice quadrata non può essere un numero negativo (se non tocchi l'area dei numeri complessi), otteniamo l'unica soluzione:
x = 1.