Come risolvere i sistemi di equazioni

Non è difficile risolvere il sistema di equazioni usando i metodi di base per risolvere i sistemi di equazioni lineari: il metodo di sostituzione e il metodo di addizione.

Manuale di istruzioni

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Consideriamo i metodi per risolvere un sistema di equazioni usando un esempio di un sistema di due equazioni lineari con due valori sconosciuti. In termini generali, tale sistema è scritto come segue (a sinistra, le equazioni sono combinate con una parentesi graffa):

ax + b = c

dx + ey = f, dove

a, b, c, d, e, f sono i coefficienti (numeri specifici) e xey, come al solito, sono sconosciuti. I numeri a, b, c, d sono chiamati coefficienti per incognite e c e f sono chiamati termini liberi. La soluzione a tale sistema di equazioni si trova con due metodi principali.

La soluzione del sistema di equazioni con il metodo di sostituzione.

1. Prendiamo la prima equazione ed esprimiamo una delle incognite (x) in termini di coefficienti e l'altra sconosciuta (y):

x = (s-by) / a

2. Sostituisci l'espressione ottenuta per x nella seconda equazione:

d (c-by) / a + ey = f

3. Risolvendo l'equazione risultante, troviamo l'espressione per y:

y = (af-cd) / (ae-bd)

4. Sostituisci l'espressione risultante per y nell'espressione per x:

x = (ce-bf) / (ae-bd)

Esempio: è necessario risolvere un sistema di equazioni:

3x-2y = 4

x + 3y = 5

Trova il valore di x dalla prima equazione:

x = (2y + 4) / 3

Sostituisci l'espressione risultante nella seconda equazione e ottieni un'equazione con una variabile (y):

(2y + 4) / 3 + 3y = 5, da cui otteniamo:

y = 1

Ora sostituiamo il valore trovato di y nell'espressione con la variabile x:

x = (2 * 1 + 4) / 3 = 2

Risposta: x = 2, y = 1.

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Risolvere un sistema di equazioni per addizione (sottrazione).

Questo metodo si riduce alla moltiplicazione di entrambi i lati delle equazioni per numeri (parametri) in modo tale che, di conseguenza, i coefficienti di una delle variabili coincidano (possibilmente con il segno opposto).

Nel caso generale, entrambi i lati della prima equazione devono essere moltiplicati per (-d) e entrambi i lati della seconda equazione per a. Di conseguenza, otteniamo:

-adx-bdу = -cd

adx + aey = af

Aggiungendo le equazioni risultanti, otteniamo:

-bdu + aeu = -cd + af, da cui otteniamo l'espressione per la variabile y:

y = (af-cd) / (ae-bd), sostituendo l'espressione y in qualsiasi equazione del sistema, otteniamo:

ax + b (af-cd) / (ae-bd) = c?

da questa equazione troviamo il secondo sconosciuto:

x = (ce-bf) / (ae-bd)

Un esempio Risolvi il sistema di equazioni aggiungendo o sottraendo:

3x-2y = 4

x + 3y = 5

Moltiplica la prima equazione per (-1) e la seconda per 3:

-3x + 2y = -4

3x + 9y = 15

Aggiungendo (termine per termine) entrambe le equazioni, otteniamo:

11y = 11

Dove arriviamo:

y = 1

Sostituiamo il valore ottenuto per y in una qualsiasi delle equazioni, ad esempio nella seconda, otteniamo:

3x + 9 = 15, da cui

x = 2

Risposta: x = 2, y = 1.