Come calcolare l'area di un parallelogramma costruito su vettori

Su due vettori non collinear e non zero, è possibile costruire un parallelogramma. Questi due vettori contrarranno un parallelogramma se combinerai la loro origine in un punto. Termina i lati della figura.

Manuale di istruzioni

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Trova le lunghezze dei vettori se vengono fornite le loro coordinate. Consentiamo, ad esempio, che il vettore A abbia coordinate (a1, a2) nel piano. Quindi la lunghezza del vettore A è | A | = √ (a1² + a2²). Allo stesso modo, troviamo il modulo del vettore B: | B | = √ (b1² + b2²), dove b1 e b2 sono le coordinate del vettore B sul piano.

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L'area del parallelogramma si trova con la formula S = | A | • | B | • sin (A ^ B), dove A ^ B è l'angolo tra i vettori A e B. dati Il seno può essere trovato attraverso il coseno usando l'identità trigonometrica di base: sin²α + cos²α = 1. Il coseno può essere espresso in termini di prodotto scalare di vettori scritti in coordinate.

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Il prodotto scalare di un vettore A di un vettore B è indicato da (A, B). Per definizione, è uguale a (A, B) = | A | • | B | • cos (A ^ B). E nelle coordinate, il prodotto scalare è scritto in questo modo: (A, B) = a1 • b1 + a2 • b2. Da qui possiamo esprimere il coseno dell'angolo tra i vettori: cos (A ^ B) = (A, B) / | A | • | B | = (a1 • b1 + a2 • b2) / √ (a1² + a2²) • √ (a2² + b2²). Nel numeratore, il prodotto scalare; nel denominatore, le lunghezze dei vettori.

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Ora possiamo esprimere il seno dalla principale identità trigonometrica: sin²α = 1-cos²α, sinα = ± √ (1-cos²α). Se assumiamo che l'angolo α tra i vettori sia acuto, il meno con il seno può essere scartato, lasciando solo il segno più, poiché il seno dell'angolo acuto può essere solo positivo (o zero a angolo zero, ma qui l'angolo è diverso da zero, questo viene visualizzato nella condizione non collinearità dei vettori).

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Ora dobbiamo sostituire l'espressione coordinata con il coseno nella formula seno. Dopodiché, rimane solo da scrivere il risultato nella formula dell'area del parallelogramma. Se tutto ciò viene fatto e l'espressione numerica è semplificata, allora risulta che S = a1 • b2-a2 • b1. Pertanto, l'area del parallelogramma costruita sui vettori A (a1, a2) e B (b1, b2) si trova con la formula S = a1 • b2-a2 • b1.

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L'espressione risultante è il determinante della matrice composta dalle coordinate dei vettori A e B: a1 a2b1 b2.

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Infatti, per ottenere un determinante di una matrice di dimensione due, è necessario moltiplicare gli elementi della diagonale principale (a1, b2) e sottrarre da ciò il prodotto degli elementi della diagonale laterale (a2, b1).