Come trovare l'area di un segmento circolare

Uno dei problemi geometrici più comuni è calcolare l'area di un segmento circolare: la parte di un cerchio delimitata da un accordo e la corrispondente corda di un arco di un cerchio.

L'area del segmento circolare è uguale alla differenza tra l'area del settore circolare corrispondente e l'area del triangolo formata dai raggi del segmento corrispondente del settore e l'accordo che delimita il segmento.

Esempio 1

La lunghezza dell'accordo che contrae un cerchio è uguale al valore di a. La misura in gradi dell'arco corrispondente all'accordo è di 60 °. Trova l'area del segmento circolare.

decisione

Un triangolo formato da due raggi e un accordo sono isosceli, quindi l'altezza tracciata dalla parte superiore dell'angolo centrale al lato del triangolo formato dall'accordo sarà anche la bisettrice dell'angolo centrale, dimezzandolo e la mediana, dimezzando l'accordo. Sapendo che il seno dell'angolo in un triangolo rettangolo è uguale al rapporto tra il lato opposto e l'ipotenusa, possiamo calcolare il raggio:

Sin 30 ° = a / 2: R = 1/2;

R = a.

L'area del settore corrispondente a un determinato angolo può essere calcolata con la seguente formula:

Sc = πR² / 360 ° * 60 ° = πa² / 6

L'area del triangolo corrispondente al settore viene calcolata come segue:

S ▲ = 1/2 * ah, dove h è l'altezza tracciata dalla parte superiore dell'angolo centrale rispetto all'accordo. Secondo il teorema di Pitagora, h = √ (R²-a² / 4) = √3 * a / 2.

Di conseguenza, S ▲ = √3 / 4 * a².

L'area del segmento, calcolata come Sseg = Sc - S ▲, è uguale a:

Sseg = πa² / 6 - √3 / 4 * a²

Sostituendo un valore numerico invece di a, è possibile calcolare facilmente il valore numerico dell'area del segmento.

Esempio 2

Il raggio del cerchio è uguale a. La misura in gradi dell'arco corrispondente al segmento è di 60 °. Trova l'area del segmento circolare.